Matroid Polytopes and their Volumes

We express the matroid polytope PM of a matroid M as a signed Minkowski sum of simplices, and obtain a formula for the volume of PM . This gives a combinatorial expression for the degree of an arbitrary torus orbit closure in the Grassmannian Grk,n. We then derive analogous results for the independent set polytope and the associated flag matroid polytope of M . Our proofs are based on a natural extension of Postnikov’s theory of generalized permutohedra. Résumé. On exprime le polytope matroı̈de PM d’un matroı̈de M comme somme signée de Minkowski de simplices, et on obtient une formule pour le volume de PM . Ceci donne une expression combinatoire pour le degré d’une clôture d’orbite de tore dans la Grassmannienne Grk,n. Ensuite, on deduit des résultats analogues pour le polytope ensemble indépendant et pour le polytope matroı̈de drapeau associé a M . Nos preuves sont fondées sur une extension naturelle de la théorie de Postnikov de permutoèdres généralisés.